GB/T 10094-2009 正态分布分位数与变异系数的置信限
GB/T 10094-2009 Confidence limits of quantile and coefficient of variation for normal distribution
基本信息
发布历史
-
1988年12月
-
2009年10月
研制信息
- 起草单位:
- 中国科学技术大学、北京大学、中国标准化研究院
- 起草人:
- 吴耀华、孙山泽、于振凡、丁文兴、周正伐等
- 出版信息:
- 页数:45页 | 字数:83 千字 | 开本: 大16开
内容描述
ICS03.120.30
A41
中华人民共和国国家标准
GB/T10094—2009
代替GB/T10094—1988,GB/T11791—1989,GB/T14438—1993
正态分布分位数与变异系数的置信限
Confidencelimitsofquantileandcoefficientofvariation
fornormaldistribution
2009-10-15发布2010-02-01实施
发布
GB/T10094—2009
目
前言I
1范围1
2规范性引用文件1
3术语、定义和符号1
3.1术语和定义1
3.2符号3
4正态分布分位数的詈信区间3
4.1单侧置信下限3
4.2单侧置信上限3
4.3双侧置信上、下限3
4.4示例4
5正态分布变异系数置信上限4
5.1精确置信上限4
5.2置信上限的近似求法5
5.3示例5
附录A(规范性附录)K系数表6
GB/T10094—2009
-1.Z-—1—
刖弓
“数据的统计处理和解释”包括以下国家标准:
——GB/T3359数据的统计处理和解释统计容忍区间的确定
——GB/T3361数据的统计处理和解释在成对观测值情形下两个均值的比较
——GB/T4087数据的统计处理和解释二项分布可靠度单侧置信下限
——GB/T4088数据的统计处理和解释二项分布参数的估计与检验
——GB/T4089数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验
——GB/T4882数据的统计处理和解释正态性检验
——GB/T4883数据的统计处理和解释正态样本离群值的判断和处理
——GB/T4885正态分布完全样本可靠度置信下限
-GB/T4889数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验
——GB/T4890数据的统计处理和解释正态分布均值和方差检验的功效
—GB/T6380数据的统计处理和解释I型极值分布样本离群值的判断和处理
—GB/T8055数据的统计处理和解释卩分布(皮尔逊皿型分布)的参数估计
—
—数据的统计处理和解释指数分布样本离群值的判断和处理
—GB/T8056
——GB/T10092数据的统计处理和解释测试结果的多重比较
-GB/T10094正态分布分位数与变异系数的置信限
本标准代替GB/T10094—1988«正态分布分位数工”置信区间》、GB/T11791—1989«正态分布变
差系数置信上限》和GB/T14438—1993《定限内正态概率的置信下限》。
本标准与GB/T10094—1988,GB/T11791—1989和GB/T14438—1993相比主要变化如下:
-按GB/T1.1—2000《标准化工作导则第1部分:标准的结构和编写规则》的要求对标准格式
进行了修订;
——将GB10094—1988附录A示例中的例子放入正文。
本标准由全国统计方法应用标准化技术委员会(SAC/TC21)提出并归口0
本标准主要起草单位:中国科学技术大学、北京大学、中国标准化研究院。
本标准主要起草人:吴耀华、孙山泽、于振凡、丁文兴、周正伐等。
本标准所代替标准的历次版本发布情况为:
GB/T10094—1988;
——GB/T11791—1989;
——GB/T14438—1993O
T
GB/T10094—2009
正态分布分位数与变异系数的置信限
1范围
本标准规定了在给定置信水平下正态分布分位数置信区间和变异系数置信上限的确定方法。
本标准适用于正态分布的总体。
2规范性引用文件
下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。凡是注日期的引用文件,其随后所有
的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本标准,然而,鼓励根据本标准达成协议的各方研究
是否可使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件,其最新版本适用于本标准。
GB/T3358.1统计学词汇及符号第1部分:一般统计术语与用于概率的术语(GB/T3358.1-
2009,ISO3534-1:2006,IDT)
GB/T3358.2统计学词汇及符号第2部分:应用统计(GB/T3358.2—2009,ISO3534-2:2006,
IDT)
GB/T4086.1统计分布数值表正态分布
GB/T4086.2统计分布数值表才分布
GB/T15932—1995非中心t分布分位数表
GB/T4885—2009正态分布完全样本可靠度置信下限
3术语、定义和符号
3.1术语和定义
GB/T335&1和GB/T335&2确立的术语和定义以及下列术语和定义适用于本标准。为便于参
考,某些术语直接引自上述标准。
3.1.1
P分位数p-quantile;p-fractile
Xp,xp
对0<^<1,使分布函数FCz)大于或等于p的所有工的下确界。
示例1:考虑二项分布,表1给出参数"=6,p0.3的二项分布的概率质量函数。分布的某些p分位数为:
X’:.1=0
凡.25=1
X‘:.5=2
Xo.75=3
Xo.:”:=3
Xo.95=4
\':.99=5
999=5
由于二项分布是离散的,它的〃分位数都是整数。
1
GB/T10094—2009
表1二项分布的示例
XP(X.r)P(X<.r)P(X>r)
00.1176490.1176490.882351
10.3025260.4201750.579825
20.3241350.7443100.255690
30.1852200.9295300.070470
40.0595350.9890650.010935
50.0102060.9992710.000729
60.0007291.0000000.000000
示例2:对于标准正态分布,表2给出了某些数值分布函数及对应的〃分位数(参见GB/T4086.1正态分布分位
数表):
表2标准正态分布示例
P满足P(X<.r)Z>的才
0.1-1.282
0.25—0.674
0.50.000
0.750.674
0.841344751.000
0.91.282
0.951.645
0.9751.960
0.992.326
0.9952.576
0.9993.090
曰于X的分布是连续的,第二列的标题也可以写为:满足P(X<T)=p的乂。
注1:对于连续分布,如果〃是0.5,则0.5分位数即为中位数(2.14)。对〃等于().25,相应的0.25分位数被称为
下四分位数。对于连续分布,分布的25%低于0.25分位数而分布的75%高于0.25分位数。当p等于0.75,
相应的0.75分位数被称为上四分位数。
注2:通常,分布中的100〃%小于p分位数;分布中的100(1—〃)%大于p分位数。但很难确定离散分布的中位数,
因为会有很多值满足定义。
注3:如果F是连续和严格递增的,则p分位数是F(Q=p的解,此时定义中的“下确界”可被替换为“最小值”。
注4:如果分布函数在某一个区间上都等于常数〃,则这个区间上的所有值都是这个分布的p分位数。
注5:p分位数的定义仅适用于一维分布。
3.1.2
变异系数coefficientofvariation
CV
〈正随机变量〉标准差除以非零的均值。
注1:变异系数通常用13■分数表示。
注2:不赞成使用以前的术语“相对标准差”。
2
GB/T10094—2009
3.1.3
置信区间confidenceinterval
参数0的区间估计(几,TJ,其中作为区间限的统计量T0,T,,满足P[Tn<0<T1]>l-Oo
注1:置信度反映了在同一条件下长序列重复随机抽样中,置信区间包含参数真值的比例。置信区间并不能反映观
测到的区间包含参数真值的概率(观测到的区间只能或是包含或是不包含)。
注2:一个与置信区间相关的特性是100(1—a)%,其中a是一个小的数。这个特性称为置信系数或置信水平,通常
取为5%或99%。对任意确定但未知的总体&值,P:To<0<T1]>l-ao
3.2符号
下列符号适用于本标准。
":样本量
〃:总体均值
O:总体标准差
工:正态随机变量X的观测值
孑:样本均值
S:样本标准差
1—a:置信水平
心:概率分布的P分位数
Cu:®的置信上限
G.:®的置信下限
CV=c/“:总体变异系数
i"Ws/.T:样本变异系数
自由度为"非中心参数为&的非中心/分布的a分位数
C匕】:总体变异系数的置信上限
4正态分布分位数的置信区间
4.1单侧置信下限
正态分布分位数心的置信水平为1—a的单侧置信下限由式(1)确定:
C_广—sK1_”,当卩£0.50时(])
\a-+sK。,当〃〉0.50时
其中Ka和K—可利用附录A查出,在K系数表中对应于样本量为n,R=l-p,y=a可查得K。,
对应于样本量为H,/?P,y=l—«可查得K1-Oo
4.2单侧置信上限
正态分布分位数心的置信水平为1—a的单侧置信上限Cu由式(2)确定:
c严—sK°,当"W0.50时
)(2)
+sK|,当“〉0.50时
其中Ka和可利用附录A查出,在K系数表中对应于样本量为n,R=l-p,y=a可查得,
对应于样本量为H,/?P,y=l—«可查得K1-Oo
4.3双侧置信上、下限
正态分布分位数心的置信水平为1—a的双侧置信下限G.由式(3)确定:
c.'K1_”/2,当》£0.50时
ClI(3)
u-+sKgp,当〃>0.50时
双侧置信上限(L由式(4)确定:
3
GB/T10094—2009
cR—sK*,当〃£0.50时
C\jI(4)
[z+sKip/2,当”>0・50时
(3).(4)两式中Km2和Ki-a/2可利用附录A查出,在K系数表中对应于样本量为=
7=4可查得心2,对应于样本量为n,R=p,y=\^可查得Kf2。
4.4示例
示例1:某市气象台测得该市72年的年降雨量数据如下(单位:mm):
1063.8,1004.9,1086.2,1022.5,1330.9,1439.4,1236.5,1088.1,1288.7,1115.8,
1217.5,1320.7,1078.1,1203.4,1480.0,1269.9,1049.2,131&4,1192.0,1016.0,
1508.2,1159.6,1021.3,986.1,794.7,1318.3,1171.2,1161.7,791.2,1143.8,
1602.0,951.4,1003.2,840.4,1061.4,95&0,1025.2,1265.0,1196.5,1120.7,
1659.3,942.7,1123.3,910.2,139&5,1208.6,1305.5,1242.3,1572.3,1416.9,
1256.1,1285.9,984.8,1390.3,1062.2,1287.3,1477.0,1017.9,1217.7,1197.1,
1143.0,1018.8,1243.7,909.3,1030.3,1124.4,811.4,820.9,1184.1,1107.5,
991.4,901.7O
经检验年降雨量X服从正态分布,求置信水平0.9()时10%分位数®.1。和90%分位数竝网的双侧置信限。
由数据算得样本均值和样本标准差分别为:
£=1154.78,5=159.562
根据式(3)、式(4)知置信水平0.90时分位数心’的双侧置信下、上限分别为:
Cl=J7—sK0.95,Gj=TsK0.C5
置信水平0.90时分位数心的双侧置信下、上限分别为:
Cl=/+sKo.g,Cx'=/+sK0.%
对应"=72,R0.90,查附录A得:
Ko.,*1.043,K().951.577
故得到分位数mw的双侧置信下、上限分别为;
Cl=847.012,Cu=951.228
分位数口.”的双侧置信下、上限分别为:
CL=1358.336,Cu=i462.552
示例2:某种高温合金钢的寿命t的分布是对数正态分布,取12个试样在660"C温度利4kgf/mm2(39.2266MPa)
应力下进行寿命试验,得数据如下(单位:h):
935,1025,1081,1180,1197,1234,1328,1521,1621,1621,1694,1933。
求置信水平0.90时寿命分布1%分位数t.,.n的置信下限。
对试验数ft;r,(/=l,-,12)取对数.r,=lrv,,则心,…,心2是正态分布的样本,计算得样本均值和样本标准差为:
T=7.1949,s=0.2258
根据式(1),正态分布的1%分位数的置信水平0.90的置信下限为:
(:L=.7•—xKo,..o=7.1949-0.2258X3.371=6.4337
其中Ko.90=3.371是对应n=12,R=lp=0.99,y=l—«0.90从附录A查出。
故置信水平0.90时寿命分布1%分位数/,:⑶的置信下限为:
』.皿:=622.47(h)
5正态分布变异系数置信上限
5.1精确置信上限
正态总体变异系数CV的置信上限CVu由式(5)确定:
5—1加(CV-】)L)=五K
4
GB/T10094—2009
其中K=V/$l/cs(C旷%的值可以利用GB/T15932—1995进行线性插值来得到。
5.2置信上限的近似求法
当CV<Q.30,时,正态总体变异系数置信上限CV,,的近似公式为:
'2(”一
(Vu(6)
(n一l)(~y2
其中—1)表示自由度为"一1的才分布的1—a分位数,其值可由X分位数表查得(见
GB/T4086.2)0
5.3示例
一批碳环氧壳体,从中随机抽取9件进行强度试验,测得破坏值分别为(单位:h):7.92,7.25,7,
8.58,7,6.67,6.75,6.87,6.92O求置信水平为0.90吋这批壳体强度的变差系数置信上限。
由数据算得样本均值和样本标准差分别为:
£=7.2178,5=0.6296
a)精确方法
由后7k=、,©X7.2178/0.629634.3923,查非中心/分布表(见GB/T15932—1995),用线
性插值得:
“(CV=22.6409
故有
CVn=1/((VT片=0.1325
b)近似方法
查x2分位数表(见GB/T4086.2):
/o.no(8)=3.49
由式(6)算得:
CVu=0.1316
5
GB/T10094—2009
附录A
(规范性附录)
K系数表
本系数表的参数范围与表距为:
y=O.01,0.05,0.10,0.20,0.40(0.10)0.90,0.95,0.99
Ri=0.50,0.60(0.05)0.95,0.99,0.925,0.93,0.35,0.94,0.945,0.95,0.96,0.97
”=2(1)50(10)120
6
GB/T10094—2009
y.01
■<•5000000.6000000.6500000.7000000.7500000.8000000
nX
2.022.50050-13.82057-10.38587-7.49399一5.10993-3.20381
3.0—4.02099-2.72777-2.16862-1.66198-1.2044579235
4.0-2.27035-1.56282-1.24579一・9493067027—.40463
5.0-1.67569-1.1449190191一・67023-.4467922724
6.0-1.37373—.9241471523一・51345-.3156811743
7.0-1.1878278401—・59430—.40935-.22598—・03965
8.0-1.059946852650775—・3334415915.01973
9.0-.9654961089-.44174-.27471—.10659.06727
10.0-.892225522538917-.22740-.06371.10660
11.0-.83331—.504453459618814-.02776.13993
12.0-.78464—.46450—・3095915484•00300.16869
13.0-.74358—.43044-.27839—.12609.02974.19389
14.0—.70832—.4009425124—.10092•()5329.21622
15.0-.6776437506-.22730-.07862.07427.23621
16.0—・6506235211—・20599—・05868.09311.25425
17.0—.626593315718684—・04070.11017.27066
18.0—・60503—.3130416952-.02437.12572.28566
19.0-.585562962115373—・00944.13998.29946
20.0-.56785—.2808313927•00427・15311.31221
21.0-.551652667112596.01692.16527・32405
22.0-.536762536811364•02865•17656.33507
23.0—・52302—.2416010221.03957.18710.34538
24.0-.51028—・23036-.09155.04977.19696.35504
25.0-.4984321988-.08159•05932.20622.36413
26.0-.48737—.2100607224•06830.21493.37269
27.0-.47701—.20084—.06345.07675.22314.38079
28.0-.4672919216-.05517•08473.23091.38846
29.0-.458141839704734.09228.23828.39573
30.0—.44950—.17623—.03993•()9944.24527.40265
31.0—.441341688903289.10624.25192.40924
32.0—.4336016192-.02621.11272.25826.41552
33.0—.4262615529-.01984.11889.26430.42152
34.0-.4192814898-.01377.12478.27008.42727
35.0-.412631429600797.13041.27561.43277
36.0—.406291372000242.13581.28091.43805
37.0—・4002313169.00289.14098.28600.44312
3&0-.3944312641.00798.14594.29089.44799
39.0-.3888812135.01288.15071.29559.45268
40.0-.3835611649.01758.15529•30011.45720
41.0-.3784511181・02210.15971•30447.46156
42.0-.3735410731・02645.16397.30867.46577
43.0-.3688110298・03065.16807.31273.46983
44.0-.36426—.09880・03470.17204.31665.47376
45.0-.35988—.09477.03862.17587.32044.47756
46.0-.35565—.09087.04240.17957.32411.48124
47.0-.35156-.08711.04605.18316.32766.48481
4&0-.3476108347.04959.18663.33111.48827
49.0-.34380—.07994・05302.18999.33445.49162
50.0—.3401007652・05635.19326.33769.49488
60.0-.30871—.04735.08480.22127.36557.52298
70.0-.28466—.02484.10685.24307.38734.54502
80.0-.26548—.00677.12460.26067.40498.56292
90.0-.24971.00815.13929.27527.41965.57784
100.0-.23646.02074.15172.28765.43211.59054
110.0-.22512.03156.16241.29832.44287.60152
120.0-.21526.04098.17174•30764.45228.61114
7
GB/T10094—2009
y.01
\Rr.
x•8500000.9000000・9500000.9900000.9950000.9990000
2.0-1.74767-.7071100015.56421•70758.96918
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