GB/T 8055-2009 数据的统计处理和解释 Γ分布(皮尔逊Ⅲ型分布)的参数估计

ICS03.120.30

A41

中华人民共和国国家标准

GB/T8055—2009

代替GB/T8055—1987

数据的统计处理和解释

『分布(皮尔逊HI型分布)的参数估计

Statisticalinterpretationofdata—

Parameterestimationforgammadistribution

(Pearson皿distribution)

2009-10-15发布2009-12-01实施

发布

GB/T8055—2009

目次

前言I

引言n

1范围1

2规范性引用文件1

3术语、定义和符号1

3.1术语和定义1

3.2符号2

4卩分布参数的点估计2

4.1二参数r分布参数的点估计2

4.2三参数卩分布参数的点估计3

5二参数『分布参数的区间估计4

5.1参数加的置信区间（加＞1）4

5.2参数”的置信区间4

附录A（规范性附录）密度函数图6

GB/T8055—2009

-1.Z-—1—

刖弓

“数据的统计处理和解释”包括以下国家标准:

——GB/T3359数据的统计处理和解释统计容忍区间的确定

——GB/T3361数据的统计处理和解释在成对观测值情形下两个均值的比较

——GB/T4087数据的统计处理和解释二项分布可靠度单侧置信下限

——GB/T4088数据的统计处理和解释二项分布参数的估计与检验

——GB/T4089数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验

——GB/T4882数据的统计处理和解释正态性检验

——GB/T4883数据的统计处理和解释正态样本离群值的判断和处理

——GB/T4885正态分布完全样本可靠度置信下限

-GB/T4889数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验

——GB/T4890数据的统计处理和解释正态分布均值和方差检验的功效

——GB/T8055数据的统计处理和解释卩分布（皮尔逊皿型分布）的参数估计

—数据的统计处理和解释指数分布样本离群值的判断和处理

—GB/T8056

—GB/T6380数据的统计处理和解释I型极值分布样本离群值的判断和处理

——GB/T10092数据的统计处理和解释测试结果的多重比较

-GB/T10094正态分布分位数与变异系数的置信限

本标准代替GB/T8055—1987《数据的统计处理和解释「分布（皮尔逊IH型分布）的参数估计》。

本标准与GB/T8055—1987相比主要变化如下:

—按GB/T1.1—2000《标准化工作导则第1部分:标准的结构和编写规则》的要求对标准格式

进行了修订；

——在新修订的标准中删除了原标准中附录E程序与框图；

-在新修订的标准中删除了原标准中附录C三参数卩分布不完全样本的点估计（适线法）;

——在新修订的标准中删除了原标准中附录D应用实例。

本标准的附录A为规范性附录。

本标准由全国统计方法应用标准化技术委员会（SAC/TC21）提出并归口。

本标准起草单位:北京工业大学、中国标准化研究院、北京大学。

本标准主要起草人：薛留根、丁文兴、于振凡、马月红、谢田法、房祥忠。

本标准所代替标准的历次版本发布情况为:

——GB/T8055—1987O

T

GB/T8055—2009

引言

0.1本标准适用于观测值服从卩分布的情况。在使用本标准之前，需要判断或检验观测值是否服从F

分布。传统的经验判断方法是直方图法；常用的统计检验方法是才拟合优度检验。这两种方法可以在

数理统计教科书中查到。

0.2本标准规定了根据观测值估计F分布参数的方法。对于二参数卩分布的点估计，采用的估计方

法有矩估计法和极大似然估计法。矩估计法是求参数点估计的常用方法之一。因该方法简便易行，且

估计量有很好的小样本和大样本性质,故使用普遍。极大似然估计法是求参数点估计的另一常用方法，

它能充分利用分布的信息，估计更为精确.本标准中给出了极大似然估计的两种求解方法：近似公式法

和牛顿迭代法。

0.3对三参数r分布，本标准采用适线法给出了其参数的点估计。

0.4为了得到参数的估计精度，人们往往还需要计算参数的置信区间。本标准给出了二参数卩分布

中有关参数的置信区间。

D

GB/T8055—2009

数据的统计处理和解释

F分布（皮尔逊皿型分布）的参数估计

1范围

本标准规定了根据观测值估计卩分布参数的方法。

本标准适用于卩分布总体的参数估计；对测量、测试、调查得到的数据，若经理论分析、经验判断或

统计检验后，可合理地认为其来自卩分布总体，才可按本标准确定卩分布参数的点估计和区间估计。

2规范性引用文件

下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。凡是注日期的引用文件，其随后所有

的修改单（不包括勘误的内容）或修订版均不适用于本标准，然而，鼓励根据本标准达成协议的各方研究

是否可使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件，其最新版本适用于本标准。

GB/T3358.1统计学词汇及符号第1部分：一般统计术语与用于概率的术语（GB/T3358.1-

2009,ISO3534-1：2006,IDT）

GB/T3358.2统计学词汇及符号第2部分：应用统计（GB/T3358.2—2009,ISO3534-2：2006,

IDT）

GB/T4086.1统计分布数值表正态分布

GB/T4086.2统计分布数值表才分布

3术语、定义和符号

3.1术语和定义

GB/T335&1和GB/T335&2确立的以及下列术语和定义适用于本标准。

3.1.1

偏度系数coefficientofskewness

总体的三阶中心矩与标准差的立方之比。

C.=E[X—E（X）y/（、JE[X_E（X）了£

3.1.2

样本几何均值geometricmeanofsample

»个观测值乘积的丄次幕。

3.1.3

屮函数i|/-function

P函数的导数与卩函数之比。

¥（“）=r'（?A7）/r（7Az）

3.1.4

置信区间confidenceinterval

参数〃的区间估计（丁。，厂），其中作为区间限的统计量满足P[T0<^<。

注1：置信度反映了在同一条件下长序列重复随机抽样中，置信区间包含参数真值的比例。置信区间并不能反映观

1

GB/T8055—2009

测到的区间包含参数真值的概率(观测到的区间只能或是包含或是不包含)。

注2：—个与置信区间相关的特性是100(1—a)%,其中a是一个小的数。这个特性称为置信系数或置信水平，通常

取为5%或99%。对任意确定但未知的总体0值,PLTQ<0<T^>l-a.

3.2符号

本标准所用符号见附录A。

4F分布参数的点估计

4.1二参数F分布参数的点估计

4.1.1二参数F分布的密度函数

二参数卩分布的密度函数是:

——厂,工＞0

f(:,b)=J6HT

I0,•zM0

其中形状参数加>0,尺度参数b>Qo

4.1.2矩估计(n>10)

实施步骤：

a)计算样本均值

(1)

b)计算样本方差

2wT2(2)

C)计算m的矩估计

(3)

d)计算b的矩估计

b=s2/x(4)

4.1.3极大似然估计(n>0)

求极大似然估计的常用方法有两种：近似公式法和牛顿迭代法，其中近似公式法给出的极大似然估

计计算误差可达10T；牛顿迭代法可给出更高的计算精度。实际工作中可根据需要选用其中之一。

4.1.3.1近似公式法

实施步骤：

a)计算统计量

H=lru-—lru-(5)

其中；•是样本几何均值。

b)计算加的极大似然估计

当OVHWO.5772吋，

-0.5000876+0.1648852H-0.0544274H2,“、

m=rj(6)

当0.5772<H<17时，

-8.898919+9.05995OH+0.9775373H2

(7)

H(17.79728+11.968477H+H2)

c)计算厶的极大似然估计

b=x/m••(8)

4.1.3.2牛顿迭代法

实施步骤：

2

GB/T8055—2009

a）计算统计量

H=In.?-—In.?-••(9)

b）计算加的初值

=1/（2H）(10)

c）计算加的第一步近似值

lnz/zo—巫）—H

加1=加°—/A、(11)

1/必0—⑴（"））

类似地可以计算加2W••呦

—巫（加点）一H

]/“,一2（7心）(12)

d)若|g，+i—加』<£吋，停止迭代，并取m的极大似然估计为

m=?仪+i(13)

若|加如—mk|>e吋返回式（12）继续迭代；

e）计算5的极大似然估计

h=:r/m(14)

4.2三参数F分布参数的点估计

4.2.1三参数F分布的密度函数

三参数F分布的密度函数是：

•T〉a

f（工-,m,b,a）=〔""F（m）

I0,工£a

其中形状参数加>0,尺度参数b>Q,a是位置参数。

4.2.2三参数F分布中参数m、b、a与期望“、变异系数C”及偏度系数G的关系

m、b、a与“、C”及C,的关系如下：

=mb+a(15)

JCt=y'm/(加+a/b)(16)

k；=2/V'-(17)

f加=4/Cf(18)

”=竝C、/2

即(19)

(a=〃(1-2C”/C<)

(20)

4.2.3适线法5$20）

实施步骤：

a）样本从小到大排列成

2(1〉£^<2>CW工5〉

b）计算Pi

：1,2,…)(21)

c）计算

(22)

d）计算G和G的初始值（爲和C、。

C-tX)=$I*(23)

3

GB/T8055—2009

Co=2xCm/（工一z⑴）（24）

e）查附录A的表A.1,由Cg,p；查得对应的札（i=1,2,…，”）o

D计算-X-（P,）

■z（也）=_z（C诃力+1）（25）

g）计算目标函数值

?/

Q=S1^<"T+1）—:?•（pi）|（26）

7=1

h）用模型搜索法逐步求出使Q达到最小的C；。

i）取M=.v,Cv=C；,CS=2^-C；/（工一工⑴），将“、C.和代入式（18）~式（20）即可求得参数

m、b、a的估计。

5二参数F分布参数的区间估计

对观测值对，工2,…以”和给定的置信水平1—a，本章给出二参数『分布参数加和“的双侧置信

区间。

5.1参数加的置信区间（加>1）

实施步骤：

a）计算统计量

H=lru-—lru-（27）

b）据GB/T4086.2中的才分布分位数表，查得和滋（"一1），记

gl=Z'-T(“—1)，g2=zg(“一])

C)计算加的置信下限

J-=(3g2+v'9g2+12(“+1)g2H)/(28)

d)计算加的置信上限

=(3gi+、/9gi+12(”+1)giH)/(12”H)(29)

5.2参数方的置信区间

5.2.1加已知.且2nm<250的情形

实施步骤：

a）查GB/T4086.2中的才分布分位数表：

若2nm为整数，则直接查（2nm）和痪（2nm）；

否则，查

xM（2"加）=（［2"〃q）+（2"加一［2"加］）・（［2”加］+1）—无匚（［2"加］门

（2wm）=（0"］）+（2nm-［2"〃仃）・［瘓（0"］+1）—病（0”］）］

注:［2”"切表示2nm的整数部分。

b）讣算5的置信下限

bi.=2心/活一扌（2m）（30）

c）计算〃的置信上限

“U=2?w/y^.（2"加）（31）

5.2.2加已知.且2nm>250的情形

实施步骤：

a）查GB/T4086.1中的正态分布分位数表，得“円，空。

计算：

Z]«=V4/2mX"ip+Znm(32)

4

GB/T8055—2009

Z彳=v'4?zmXm(33)

b）计算b的置信下限

2/zlz/(34)

c）计算b的置信上限

bv=2nx丨Z逼(35)

5.2.3加未知的情形

当m未知吋，可先求得m的点估计值，再利用5.2.1或5.2.2求得h的区间估计。

5

GB/T8055—2009

附录A

（规范性附录）

密度函数图

A.1三参数F分布密度函数图（见图A.1）

若随机变量X的密度函数形如

[0,工£a

其中？"〉o,”〉0,—8<a<+co,则称x服从三参数r分布，也称皮尔逊nr型分布o

当a=0吋，即为二参数卩分布；

当加=1吋，即为指数分布；

当m=苛,b=2,n为整数吋，即自由度为"的/（“）分布。

A.2符号

心卩分布的概率密度函数

r（m）卩函数

nF分布的位置参数

b「分布的尺度参数

m卩分布的形状参数

〃总体期望

/总体方差

<7总体标准差

C.总体变异系数

C总体偏度系数

“样本量

1随机变量的观测值

£样本均值

7样本几何均值

/样本方差

S样本标准差

H样本的算术平均值与几何平均值之比的对数

6

GB/T8055—2009

巫(M)w函数

2(W)巫函数的导数

m形状参数＞n的估计量

b尺度参数〃的估计量

a位置参数a的估计量

总体均值“的估计量

总体变异系数G的估计量

c总体偏度系数G的估计量

1—a置信水平

2“、

n自由度为"的/分布的a分位数

加U参数加的置信上限

参数m的置信下限

如参数1＞的置信上限

参数“的置信下限

A.3三参数F分布＜/＞值表（见表A.1）

7

GB/T8055—2009

218

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